Если мать отказалась от ребёнка, может ли он при рождении второго ребёнка получить материнский капитал.

Да может, если не лишена родительских прав.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 256-ФЗ (ред. от 28.12.2016) "О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей"

Статья 3. Право на дополнительные меры государственной поддержки

1. Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при рождении (усыновлении) ребенка (детей), имеющего гражданство Российской Федерации, у следующих граждан Российской Федерации независимо от места их жительства:

1) женщин, родивших (усыновивших) второго ребенка начиная с 1 января 2007 года;

2) женщин, родивших (усыновивших) третьего ребенка или последующих детей начиная с 1 января 2007 года, если ранее они не воспользовались правом на дополнительные меры государственной поддержки;

3) мужчин, являющихся единственными усыновителями второго, третьего ребенка или последующих детей, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2007 года.

2. При возникновении права на дополнительные меры государственной поддержки лиц, указанных в части 1 настоящей статьи, не учитываются дети, в отношении которых данные лица были лишены родительских прав или в отношении которых было отменено усыновление, а также усыновленные дети, которые на момент усыновления являлись пасынками или падчерицами данных лиц.

Всего хорошего.