Муниципальный служащий под вымышленным именем отправляет жалобы на Мэрию - нарушение запрета на публичные высказывания?

Нет, это реализация права на обращение граждан, предусмотренное как Конституцией РФ, так и федеральными законами;

Федеральный закон от 02.05.2006 N 59-ФЗ (ред. от 03.11.2015) "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации"

""Статья 2. Право граждан на обращение

""1. Граждане имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения, включая обращения объединений граждан, в том числе юридических лиц, в государственные органы, органы местного самоуправления и их должностным лицам, в государственные и муниципальные учреждения и иные организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и их должностным лицам.

(часть 1 в ред. Федерального закона от 07.05.2013 N 80-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

2. Граждане реализуют право на обращение свободно и добровольно. Осуществление гражданами права на обращение не должно нарушать права и свободы других лиц.

3. Рассмотрение обращений граждан осуществляется бесплатно.

Здравствуйте! Нет так как в этом и есть гражданские свободы а его личные высказывания вы запретить не можете он же не призывает к свержению конституционного строя.

Как мне кажется, сотрудник переходит в категорию граждан после 18.00, а с 9,00 он он муниципальный служащий, который используя оргтехнику предприятия в личных целях дает оценку деятельности органу местного самоуправления в котором трудится, Как то это сложно стыкуется с корпоративной этикой...