Могут ли на 20 день после обращения в СК отправить авто на ремонт по ОСАГО? При этом не выдав направление?

Страховщик обязан выдать направление на ремонт, именно с этого момента его обязательства считаются исполненными точку если направление на ремонт не выдано, то вы вправе предъявить претензии к страховщику.

Могут, направление может быть направлено непосредственно СТО;

Федеральный закон "Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств" (ОСАГО), N 40-ФЗ | ст 12

Статья 12. Порядок осуществления страхового возмещения причиненного потерпевшему вреда 1. В течение 20 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, а в случае, предусмотренном пунктом 15.3 настоящей статьи, 30 календарных дней, за исключением нерабочих праздничных дней, со дня принятия к рассмотрению заявления потерпевшего о страховом возмещении или прямом возмещении убытков и приложенных к нему документов, предусмотренных правилами обязательного страхования, страховщик обязан произвести страховую выплату потерпевшему или после осмотра и (или) независимой технической экспертизы поврежденного транспортного средства выдать потерпевшему направление на ремонт транспортного средства с указанием станции технического обслуживания, на которой будет отремонтировано его транспортное средство и которой страховщик оплатит восстановительный ремонт поврежденного транспортного средства, и срока ремонта либо направить потерпевшему мотивированный отказ в страховом возмещении.