Как избежать штрафа за просрочку паспорта, учитывая наличие ребенка?

Да, это смягчающие обстоятельство. Кроме того, правонарушение малозначительное, в случае назначения штрафа можете обжаловать его в суде;

"Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ (ред. от 05.02.2018)

""Статья 4.2. Обстоятельства, смягчающие административную ответственность

""1. Обстоятельствами, смягчающими административную ответственность, признаются:

1) раскаяние лица, совершившего административное правонарушение;

8) совершение административного правонарушения в состоянии сильного душевного волнения (аффекта) либо при стечении тяжелых личных или семейных обстоятельств;

10) совершение административного правонарушения беременной женщиной или женщиной, имеющей малолетнего ребенка.

(часть 1 в ред. Федерального закона от 06.12.2011 N 404-ФЗ)

(см. текст в предыдущей "редакции")

"

"Кодекс Российской Федерации об административных правонарушениях" от 30.12.2001 N 195-ФЗ (ред. от 05.02.2018)

КонсультантПлюс: примечание.

О применении антимонопольными органами статьи 2.9 см. Методические рекомендации, утв. ФАС России.

""Статья 2.9. Возможность освобождения от административной ответственности при малозначительности административного правонарушения

""При "малозначительности" совершенного административного правонарушения судья, орган, должностное лицо, уполномоченные решить дело об административном правонарушении, могут освободить лицо, совершившее административное правонарушение, от административной ответственности и ограничиться устным замечанием.