Суд установил отцовство - кто должен возместить судебные издержки?

Разумеется, должны. В соответствии с пунктом 1 статьи 98 ГПК РФ, стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 ГПК РФ. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

Истец имеет право подать в суд заявление о взыскании с ответчика судебных расходов, понесенных истцом до вынесения решения суда и подтвержденных документами об их оплате в соответствии с нормами ст.98 ГПК РФ (госпошлина, оплату услуг адвоката и экспертизы, почтовые расходы и т.п.).

Если ответчик или его адвокат считает, что взыскиваемый размер судебных расходов превышает разумные пределы, то они могут подать в суд письменное возражение против иска и просить уменьшить это размер, указав точную сумму.

Суд принимает решение о взыскании расходов в судебном заседании, в котором стороны могут принять участие, на основании закона, с учетом информационного письма Верховного Суда РФ, сложности дела, количества судебных заседаний, имущественного положения сторон и иных обстоятельств.

Судебный акт о взыскании расходов можете быть обжалован через суд первой инстанции в вышестоящий суд.