В какой форме следует уведомить госслужащему о намерении занимать преподавательской.

Нигде не зафиксировано, нет такой формы уведомления. Так как госслужащему запрещено заниматься предпринимательской деятельностью

Федеральный закон от 27.07.2004 N 79-ФЗ (ред. от 28.12.2017) "О государственной гражданской службе Российской Федерации"

""Статья 17. Запреты, связанные с гражданской службой

""1. В связи с прохождением гражданской службы гражданскому служащему запрещается:

""3) заниматься предпринимательской деятельностью лично или через доверенных лиц, участвовать в управлении коммерческой организацией или в управлении некоммерческой организацией (за исключением участия в управлении политической партией; участия в съезде (конференции) или общем собрании иной общественной организации, жилищного, жилищно-строительного, гаражного кооперативов, садоводческого, огороднического, дачного потребительских кооперативов, товарищества собственников недвижимости; участия на безвозмездной основе в управлении указанными некоммерческими организациями (кроме политической партии) в качестве единоличного исполнительного органа или вхождения в состав их коллегиальных органов управления с разрешения представителя нанимателя в порядке, установленном нормативным правовым актом государственного органа), кроме случаев, предусмотренных федеральными законами, и случаев, если участие в управлении организацией осуществляется в соответствии с законодательством Российской Федерации от имени государственного органа;

Никому никаких ходатайств подавать не требуется

Если госслужащий желает заниматься по совместительству преподавательской деятельностью, это-его право, пусть заключает трудовой договор и работает по совместительству не в ущерб основной работе

Естественно, все полученные доход из всех источников, нужно просто указывать в ежегодной декларации.