Может ли опекун регистрироваться на бирже труда и считаться безработным?

Здравствуйте. Да конечно может. Нижеприведенный закон не содержит на этот счет каких либо ограничений.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 07.03.2018) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 2. Занятые граждане

Занятыми считаются граждане:

работающие по трудовому договору, в том числе выполняющие работу за вознаграждение на условиях полного либо неполного рабочего времени, а также имеющие иную оплачиваемую работу (службу), включая сезонные, временные работы, за исключением общественных работ (кроме граждан, участвующих в общественных работах и указанных в пункте 3 статьи 4 настоящего Закона) и осуществления полномочий членов избирательных комиссий, комиссий референдума с правом решающего голоса не на постоянной (штатной) основе;

(в ред. Федеральных законов от 17.07.1999 N 175-ФЗ, от 10.01.2003 N 8-ФЗ, от 09.03.2016 N 66-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

зарегистрированные в установленном порядке в качестве индивидуальных предпринимателей, а также нотариусы, занимающиеся частной практикой, адвокаты, учредившие адвокатские кабинеты, и иные лица, чья профессиональная деятельность в соответствии с федеральными законами подлежит государственной регистрации и (или) лицензированию (далее - индивидуальные предприниматели);

(в ред. Федерального закона от 27.12.2009 N 367-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

абзац исключен. - Федеральный закон от 17.07.1999 N 175-ФЗ;

(см. текст в предыдущей редакции)

занятые в подсобных промыслах и реализующие продукцию по договорам;

выполняющие работы по договорам гражданско-правового характера, предметами которых являются выполнение работ и оказание услуг, авторским договорам, а также являющиеся членами производственных кооперативов (артелей);

(в ред. Федеральных законов от 17.07.1999 N 175-ФЗ, от 27.12.2009 N 367-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

избранные, назначенные или утвержденные на оплачиваемую должность;

проходящие военную службу, альтернативную гражданскую службу, а также службу в органах внутренних дел, Государственной противопожарной службе, учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы;

(в ред. Федеральных законов от 21.07.1998 N 117-ФЗ, от 25.07.2002 N 116-ФЗ, от 10.01.2003 N 8-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

обучающиеся по очной форме обучения в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, включая обучение по направлению государственной службы занятости населения (далее - органы службы занятости);

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 185-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

временно отсутствующие на рабочем месте в связи с нетрудоспособностью, отпуском, переподготовкой, повышением квалификации, приостановкой производства, вызванной забастовкой, призывом на военные сборы, привлечением к мероприятиям, связанным с подготовкой к военной службе (альтернативной гражданской службе), исполнением других государственных обязанностей или иными уважительными причинами;

(в ред. Федеральных законов от 17.07.1999 N 175-ФЗ, от 10.01.2003 N 8-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

КонсультантПлюс: примечание.

С 1 января 2019 года Федеральным законом от 29.07.2017 N 217-ФЗ в абзац 10 статьи 2 вносятся изменения.

Являющиеся учредителями (участниками) организаций, за исключением учредителей (участников) некоммерческих организаций, организационно-правовая форма которых не предполагает права учредителей (участников) на получение дохода от деятельности этих организаций, включая членов товариществ собственников жилья, а также членов жилищных, жилищно-строительных, дачных, гаражных кооперативов и иных специализированных потребительских кооперативов, создаваемых в целях удовлетворения потребностей граждан, которые не получают доход от их деятельности;

(в ред. Федерального закона от 30.12.2012 N 328-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

являющиеся членами крестьянского (фермерского) хозяйства.