Возможно ли требовать компенсацию морального вреда в претензии к батутному центру в случае тяжелой травмы ребенка и какая сумма может быть установлена?

Здравствуйте. Безусловно у вас такое право есть. Ст. 151 ГК РФ предусмотрено, что если гражданину причинён моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда. При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинён вред.

Да, это Ваше право. Ст.151 ГК РФ устанавливает право суда возложить на "виновного" обязанность компенсации морального вреда. Как в иске, так и в претензии сумму Вы заявляете сами, учитывая соразмерность полученным физическим и нравственным страданиям. При обращении в суд, последний будет брать эти факты во внимание и определять сумму компенсации, как правило, она несколько ниже заявленной. Обратитесь к практике по Вашему региону.

При этом, если Вы не заявите требования о возмещении морального вреда в претензии, то можете его заявить при обращении в суд.