Нужно ли согласие отца на выезд мамы с ребенком в Абхазию, если мы в разводе и с ребенком у нас разные фамилии.

Не нужно разрешение на выезд. Но только сможете выехать при наличии подтверждающих родство документов. И гражданство РФ. И чтобы отец не возражал, не направил возражение на выезд.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 19.02.2018) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Статья 20

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.

(в ред. Федеральных законов от 24.06.1999 N 118-ФЗ, от 10.01.2003 N 7-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Организация выезда из Российской Федерации для отдыха и (или) оздоровления группы несовершеннолетних граждан Российской Федерации, оставшихся без попечения родителей и находящихся в организациях для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, осуществляется юридическим лицом, отвечающим установленным требованиям, на основании разрешений на выезд из Российской Федерации каждого такого несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, выданных органом опеки и попечительства, и договора об организации отдыха и (или) оздоровления таких несовершеннолетних граждан Российской Федерации, заключенного между юридическим лицом, органом опеки и попечительства и организацией для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей. Порядок выдачи органами опеки и попечительства разрешений на выезд из Российской Федерации несовершеннолетних граждан Российской Федерации, оставшихся без попечения родителей и находящихся в организациях для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, существенные условия договора об организации отдыха и (или) оздоровления таких несовершеннолетних граждан Российской Федерации, а также требования к юридическим лицам, выразившим намерение заключить указанный договор, устанавливаются Правительством Российской Федерации.

(часть вторая введена Федеральным законом от 05.04.2010 N 44-ФЗ)

Органы опеки и попечительства ведут учет несовершеннолетних граждан Российской Федерации, указанных в части второй настоящей статьи, выехавших из Российской Федерации для отдыха и (или) оздоровления, а также осуществляют контроль за их своевременным возвращением в Российскую Федерацию в порядке, установленном Правительством Российской Федерации.

(часть третья введена Федеральным законом от 05.04.2010 N 44-ФЗ)