Возможно ли оставаться на бирже труда после снятия с учета в центре занятости приближающемся пенсионном возрасте?

Похоже, спрашиваете об указанном периоде, когда не выплачивается пособие по безработице. С учета в самом органе занятости - гражданин не снимается.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 03.07.2018) "О занятости населения в Российской Федерации"

Статья 31. Условия и сроки выплаты пособия по безработице

1. Пособие по безработице выплачивается гражданам, признанным в установленном порядке безработными.

2. Решение о назначении пособия по безработице принимается одновременно с решением о признании гражданина безработным.

3. Пособие по безработице начисляется гражданам с первого дня признания их безработными.

Гражданам, уволенным в связи с ликвидацией организации либо прекращением деятельности индивидуальным предпринимателем, сокращением численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя, признанным в установленном порядке безработными, но не трудоустроенным в период, в течение которого за ними по последнему месту работы сохраняется средняя заработная плата (с зачетом выходного пособия), пособие по безработице начисляется начиная с первого дня по истечении указанного периода.

4. Каждый период выплаты пособия по безработице гражданам, признанным в установленном порядке безработными, в том числе гражданам, уволенным в течение 12 месяцев, предшествовавших началу безработицы, с военной службы по призыву в связи с истечением ее срока и имевшим до увольнения в связи с призывом на военную службу оплачиваемую работу не менее 26 недель на условиях полного рабочего дня (полной рабочей недели) или на условиях неполного рабочего дня (смены) и (или) неполной рабочей недели с пересчетом на 26 недель с полным рабочим днем (полной рабочей неделей), не может превышать 12 месяцев в суммарном исчислении в течение 18 месяцев, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Законом.

Для граждан, впервые ищущих работу (ранее не работавших); стремящихся возобновить трудовую деятельность после длительного (более одного года) перерыва; уволенных за нарушение трудовой дисциплины или другие виновные действия, предусмотренные законодательством Российской Федерации; уволенных по любым основаниям в течение 12 месяцев, предшествовавших началу безработицы, и имевших в этот период оплачиваемую работу менее 26 недель, а также для граждан, направленных органами службы занятости на обучение и отчисленных за виновные действия, каждый период выплаты пособия по безработице не может превышать шесть месяцев в суммарном исчислении в течение 12 месяцев. При этом общий период выплаты пособия по безработице для этих категорий граждан не может превышать 12 месяцев в суммарном исчислении в течение 18 месяцев.

5. Безработные граждане, не трудоустроенные по истечении первого периода выплаты пособия по безработице, имеют право на повторное получение пособия по безработице, если иное не предусмотрено настоящим Законом.

Закон РФ от 19.04.1991 N 1032-1 (ред. от 03.07.2018) "О занятости населения в Российской Федерации" п.1. Статьи 32. Гражданам, не достигшим возраста 60 лет для мужчин и 55 лет для женщин и имеющим страховой стаж продолжительностью не менее 25 и 20 лет для мужчин и женщин соответственно, а также необходимый стаж на соответствующих видах работ, дающий им право на досрочное назначение страховой пенсии по старости, предусмотренной Федеральным законом от 28 декабря 2013 года N 400-ФЗ "О страховых пенсиях", продолжительность периода выплаты пособия по безработице увеличивается сверх установленных 12 месяцев на две недели за каждый год работы, превышающий страховой стаж указанной продолжительности. При этом в страховой стаж включаются периоды работы и иной деятельности и засчитываются иные периоды, установленные в статьях 11 и 12 указанного Федерального закона. Порядок продления сроков выплаты пособия по безработице устанавливается уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.

Общий период выплаты пособия по безработице не может превышать 24 месяца в суммарном исчислении в течение 36 месяцев.