Администратор строительной компании среднего образования - могут ли они быть уволены за несоответствие должности?

"Шантажировать" может, уволить по этому основанию - нет.

Нельзя увольнять по несоответствию по квалификации лишь в связи с тем, что у работника нет диплома о специальном образовании, если по закону оно не требуется. Когда же закон требует для данной работы наличие специального образования, а из-за его отсутствия работник недоброкачественно выполняет работу, он может быть уволен по несоответствию квалификации. Судя по тексту вопроса, законодательство по такой должности специальных требований к образованию не предъявляет.

Кроме того, несоответствие по квалификации должно быть доказано заключением аттестационной комиссии по результатам аттестации работника. Выводы этой комиссии о деловых качествах работника подлежат оценке в совокупности с другими доказательствами по делу.

Если законодательно к данной специальности не предъявлются требования о наличии специального образования или обязательности прохождения специального обучения и отсутствует должностная инструкция в которой указанные требования сформулированны и доведены вам под подпись, то претензии об отсутствии образования не обоснованы.

Теперь, что касается не соответствия занимаемой должности: данный вывод может сделать только комиссия после проведения аттестации. Данные выводы должны быть доведены до сведения работника под роспись, и даже после этого увольнение в связи с несоответствием занимаемой должности можно легко оспорить.