Может ли сожитель остаться в доме после смерти собственника-бабушки?

Да нет, к сожалению не может. Данное имущество будет признано выморочным и отойдет в собственность государства.

Оформить домик по наследству может только, если установит нахождение на иждивении у умершей. А так, пусть живет, пользуется, возражать против этого некому. Можно в судебном порядке установить право собственности по приобретательной давности или иным основаниям, но для этого придется указывать обстоятельства, не совсем соответствующие действительности.

Дедушка не является наследником в такой ситуации. Имущество в порядке выморочного наследования перейдет в пользу государства

Статья 1151. Наследование выморочного имущества

1. В случае, если отсутствуют наследники как по закону, так и по завещанию, либо никто из наследников не имеет права наследовать или все наследники отстранены от наследования (статья 1117), либо никто из наследников не принял наследства, либо все наследники отказались от наследства и при этом никто из них не указал, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), имущество умершего считается выморочным.

2. В порядке наследования по закону в собственность городского или сельского поселения, муниципального района (в части межселенных территорий) либо городского округа переходит следующее выморочное имущество, находящееся на соответствующей территории:

жилое помещение;

земельный участок, а также расположенные на нем здания, сооружения, иные объекты недвижимого имущества;

доля в праве общей долевой собственности на указанные в абзацах втором и третьем настоящего пункта объекты недвижимого имущества.