Имеют ли право оставить ребенка на второй год из-за несдачи проекта в четвертом классе

Анна, вы хотя бы объяснили, что за проект для начала, по какому предмету!?

ЗДравствуйте, без вашего согласия это в принципе невозможно. Вас просто пугают. Будут еще пугать - жалуйтесь в департамент образования

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 01.05.2019) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 58. Промежуточная аттестация обучающихся

1. Освоение образовательной программы (за исключением образовательной программы дошкольного образования), в том числе отдельной части или всего объема учебного предмета, курса, дисциплины (модуля) образовательной программы, сопровождается промежуточной аттестацией обучающихся, проводимой в формах, определенных учебным планом, и в порядке, установленном образовательной организацией.

9. Обучающиеся в образовательной организации по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности с момента ее образования, по усмотрению их родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся на обучение по адаптированным образовательным программам в соответствии с рекомендациями психолого-медико-педагогической комиссии либо на обучение по индивидуальному учебному плану.