Обязан ли я платить за установку ворот во дворе многоквартирного дома и имею ли право на бесплатный номер открывания?

Да, Вы обязаны будете платить за услуги шлагбаума, т.к. по решению общего собрания, в течении большинством голосов жильцов было принято решение установки шлагбаума. Решение обязательно для исполнения, но можете обратиться в жилинспекцию или в прокуратуру, но скорее всего ничего не изменится.

При установке шлагбаума автоматически влечет за собой запрет свободного въезда к принадлежащему на праве собственности помещению, а также ограничение парковки автомобиля на придомовой территории.

Между тем, запрет собственнику и иным лицам въезжать на придомовую территорию противоречит действующему законодательству, поскольку нарушает права и законные интересы как собственника, так и другим лицам на беспрепятственный доступ к общему имуществу, а также возможности парковки транспортных средств в любое время суток на любом свободном месте на придомовой территории. Действующее законодательство не разрешает блокировать доступ на придомовую территорию, в т.ч. и на основании решения общего собрания собственников помещений МКД.

Что же касается решения общего собрания собственников, даже если оно не оспорено и не признано недействительным, это не имеет значения, т.к. в указанной сфере действуют нормативные правовые акты, имеющие большую юридическую силу.

Вам сначала необходимо обратиться с обоснованными заявлениями в УК по сносу шлагбаумов, направить жалобу в жил. инспекцию и заявление в прокуратуру. А если это не поможет, то в суд.