Как бывшая жена, злоупотребляющая спиртными напитками и занимающаяся проституцией, может быть лишена материнских прав, когда ребенок был увезен в другой город?

Основания лишения родительских прав указаны в ст. 69 СК РФ

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Заявление о чем Вам писать? Вы не умеете задавать вопросы. Пишете много, а понять Вас трудно, что Вы хотите... Попробуйте по другому изложить Ваш вопрос. Что конкретно хотите Вы?

Согласно установленных правил, заявление подается в отношении ответчика по месту его жительства, которое установлено, если оно не известно, то по месту его последней регистрации.

Нет. Иск подается по месту жительства ответчика., если проживает в другом городе, отличном от регистрации, и у Вас есть этому подтверждение.