Как быть военнослужащему с ребенком, нуждающимся в логопедической группе, если места в ближайшем садике заняты на год вперед?

Да никак не попадете в этот садик если там нет свободных мест. Согласно ст 67 ФЗ Об образовании в РФ №273-ФЗ Вам имеют право на законных основаниях отказать если в садике нет свободных мест.

Ну в соответствии со Ст. 19, Федеральный закон от 27.05.1998 N 76-ФЗ (ред. от 01.07.2017, с изм. от 16.11.2017) "О статусе военнослужащих"

Статья 19. Право на образование и права в области культуры

6. При изменении места военной службы военнослужащих - граждан, проходящих военную службу по контракту, а также при увольнении с военной службы по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе, состоянию здоровья или в связи с организационно-штатными мероприятиями члены их семей, обучающиеся в государственных образовательных организациях, имеют право переводиться (приниматься) в образовательные организации, ближайшие к новому месту военной службы или месту жительства.

Детям военнослужащих по месту жительства их семей места в государственных и муниципальных общеобразовательных и дошкольных образовательных организациях и летних оздоровительных лагерях предоставляются в первоочередном порядке.

Так вот, отказать Вам в связи с отсутствием мест правомерен, ведь не будут же из-за Вашего ребёнка кого-то лишать права на образование? Но Вы можете оформить ходатайство от командира на имя руководителя МАДОУ. А так же обратиться в департамент образования с просьбой о выделении места именно в указанном учреждении.