Куда нести больничный лист при заключении договора на консультационные услуги после увольнения?

Поскольку после Вашего увольнения прошло менее 1 месяца, то бывший работодатель обязан оплатить Ваш больничный по Вашему заявлению. Исключение - если Вы встали на учет в службе занятости либо заключили трудовой договор с иным работодателем. Основания - часть 2 статьи 7 Федерального закона "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" от 29.12.2006 N 255-ФЗ. Такие дела.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2019) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

Статья 5. Случаи обеспечения пособием по временной нетрудоспособности:

2. Пособие по временной нетрудоспособности выплачивается застрахованным лицам в период работы по трудовому договору, осуществления служебной или иной деятельности, в течение которого они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, а также в случаях, когда заболевание или травма наступили в течение 30 календарных дней со дня прекращения указанной работы или деятельности либо в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования.

Б/Л несете прежнему работодателю.

Федеральный закон от 29.12.2006 N 255-ФЗ (ред. от 27.12.2018) "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством"

Статья 7

2. Пособие по временной нетрудоспособности при утрате трудоспособности вследствие заболевания или травмы выплачивается застрахованным лицам в размере 60 процентов среднего заработка в случае заболевания или травмы, наступивших в течение 30 календарных дней после прекращения работы по трудовому договору, служебной или иной деятельности, в течение которой они подлежат обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности

Вы правило озвучили, После закрытия листка нетрудоспособности, Вы данный листок нетрудоспособности относите работодателю, который Вас уволил 31.01.2020 года.