Как оформить пособие по уходу за ребёнком с инвалидностью, если отец не является родственным?

Если это имеется в виду - то теоретически да, если оформлена опека.

Указ Президента РФ от 26.02.2013 N 175 (ред. от 07.03.2019) "О ежемесячных выплатах лицам, осуществляющим уход за детьми-инвалидами и инвалидами с детства I группы"

1. Установить с 1 января 2013 г. ежемесячные выплаты неработающим трудоспособным лицам, осуществляющим уход за ребенком-инвалидом в возрасте до 18 лет или инвалидом с детства I группы (далее - ежемесячные выплаты):

а) родителю (усыновителю) или опекуну (попечителю) - в размере 10 000 рублей;

б) другим лицам - в размере 1200 рублей.

2. Размер ежемесячных выплат для граждан, проживающих в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, в районах с тяжелыми климатическими условиями, требующих дополнительных материальных и физиологических затрат проживающих там граждан, увеличивается на соответствующий районный коэффициент, применяемый в указанных районах (местностях) при определении размеров пенсий в соответствии с федеральными законами от 15 декабря 2001 г. N 166-ФЗ "О государственном пенсионном обеспечении в Российской Федерации" и от 28 декабря 2013 г. N 400-ФЗ "О страховых пенсиях".

3. Ежемесячные выплаты производятся к установленной ребенку-инвалиду или инвалиду с детства I группы пенсии в период осуществления ухода за ним.

4. Ежемесячные выплаты устанавливаются одному неработающему трудоспособному лицу в отношении каждого ребенка-инвалида или инвалида с детства I группы на период осуществления ухода за ним.

5. Ежемесячные выплаты устанавливаются на основании документов, имеющихся в распоряжении органа, осуществляющего пенсионное обеспечение ребенка-инвалида или инвалида с детства I группы.

Если вы в зарегистрированном браке - можно.

Получается он должен его усыновить.