Квартире, квартира была приватизирована в 1988 году на нее, т.е. она является главным квартиросъемщиком.

Уважаемая Екатерина! Если Ваша мама приватизировала муниципальную квартиру, то она не могла это сделать в 1988г., поскольку процесс приватизации жилья начался только в конце 1991г.-начале 1992г. Если мать погасила ссуду по паенакоплению в ЖСК в 1988г., то тогда она обязательно должна зарегистрировать своё право собственности в Москомрегистрации. Если Вы -единственная наследница матери первой очереди по закону(нет родителей, других детей, супруга и иждивенцев у матери- ст. ст.1142,1148 ГК РФ), то завещание Вам не нужно, поскольку пока что(до изменения законодательства) налог при наследовании по завещанию больше, чем при наследовании по закону(если Вы с матерью в указанной квартире не проживаете). Мать может при жизни сделать Вас собственницей её квартиры, заключив договор ренты у нотариуса, либо договор купли-продажи, либо дарения. Если она хочет передать Вам квартиру при жизни безвозмездно, особенно если есть другие наследники первой очереди, которые даже завещание могут оспорить, т.к они нетрудоспособны и имеют право на обязательную долю в наследстве (ст.1149 ГК РФ),то лучше всего осуществить дарение в простой письменной форме без нотариального удостоверения с регистрацией договора в Москомрегистрации, особенно если Вы с матерью в указанной квартире по месту жительства не зарегистрированы, т.к в таклм случае налога на дарение Вам платить не придётся(ст.5 Закона РФ "О налоге с имущества, переходящего в порядке наследования или дарения").