Мать увезли в наркологию или куда их увозят в алк.

Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд принимает во внимание возраст ребенка, его привязанность к каждому из родителей, братьям, сестрам и другим членам семьи, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (с учетом рода деятельности и режима работы родителей, их материального и семейного положения, имея в виду, что само по себе преимущество в материально-бытовом положении одного из родителей не является безусловным основанием для удовлетворения требований этого родителя), а также другие обстоятельства, характеризующие обстановку, которая сложилась в месте проживания каждого из родителей. (ст. 65 СК РФ)

Поскольку вопрос решается в судебном порядке - необходимо составить исковое заявление, подать его в суд в соответствии с правилами подсудности, приложить все подтверждающие документы, возможно, определиться с доказательствами, в дальнейшем ходить на судебные заседания, отстаивать свою позицию.

"Как грамотно составить иск?" - это всё равно что спросить "как грамотно вскопать огород", "как грамотно починить машину" - это не спрашивать, это делать надо. Или Вы сами умеете - тогда сами делаете. Если не умеете или не хотите сами - обращаетесь к тому, кто это может и умеет.

Данный вопрос одномоментно не решить никак, понятие быстро в данном случае означает пару месяцев как минимум, про грамотность искового заявления вам ответили выше, в каждом деле, а, тем более, в таком как ваше, слишком много нюансов и образец иска, взятый в интернете,вам не подойдет.