Нужно ли платить капитальный ремонт за вторую квартиру при проживании в одной?

Неизвестно, в рамках федерального законодательства - должна. Смотрите, что в региональном предусмотрено.

Статья 169 ЖК РФ.

Взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме

1. Собственники помещений в многоквартирном доме обязаны уплачивать ежемесячные взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме, за исключением случаев, предусмотренных частью 2 настоящей статьи, частью 8 статьи 170 и частью 5 статьи 181 настоящего Кодекса, в размере, установленном в соответствии с частью 8.1 статьи 156 настоящего Кодекса, или, если соответствующее решение принято общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме, в большем размере.

2.1. Законом субъекта Российской Федерации может быть предусмотрено предоставление компенсации расходов на уплату взноса на капитальный ремонт, рассчитанного исходя из минимального размера взноса на капитальный ремонт на один квадратный метр общей площади жилого помещения в месяц, установленного нормативным правовым актом субъекта Российской Федерации, и размера регионального стандарта нормативной площади жилого помещения, используемой для расчета субсидий, одиноко проживающим неработающим собственникам жилых помещений, достигшим возраста семидесяти лет, - в размере пятидесяти процентов, восьмидесяти лет, - в размере ста процентов, а также проживающим в составе семьи, состоящей только из совместно проживающих неработающих граждан пенсионного возраста и (или) неработающих инвалидов I и (или) II групп, собственникам жилых помещений, достигшим возраста семидесяти лет, - в размере пятидесяти процентов, восьмидесяти лет, - в размере ста процентов.