Отказ в регистрации из-за задолженности по квартплате - как решить проблему?

Наличие задолженности не является причиной для отказа. Попробуйте сделать регистрацию через МФЦ.

Вам не могут отказать в регистрации в вашей квартире, которая принадлежит вам на праве собственности независимо от того есть у вас долги по квартирной плате или нет, т.е наличие долга не может ограничивать ваше право на пользование квартирой в силу ст.209 ГК РФ.

В соответствии с пунктом 16 Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713), гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить: документ, удостоверяющий личность; заявление установленной формы о регистрации по месту жительства; документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

Если УК будет и дальше Вам отказывать, пишите жалобу в прокуратуру.