«Спор о постановке забора возник вокруг дома в деревне - нужно ли разрешение?»

нет не нужно, на своей земле вы можете строить что хотите, если только на вашу землю не наложен сервитут, но из вашего письма этого не следует, а соседи проложат другую тропинку. И еще о каком подвале на вашей земле идет речь? кто им пользуется?

ставьте забор и скажите соседям, что в соответствии с ГК РФ, а именно Статья 261. пункт

2. Если иное не установлено законом, право собственности на земельный участок распространяется на находящиеся в границах этого участка поверхностный (почвенный) слой и водные объекты, находящиеся на нем растения.

3. Собственник земельного участка вправе использовать по своему усмотрению все, что находится над и под поверхностью этого участка, если иное не предусмотрено законами о недрах, об использовании воздушного пространства, иными законами и не нарушает прав других лиц.

А лично для вас п. 2 ст. 262 Доступ на земельный участок

1. Граждане имеют право свободно, без каких-либо разрешений находиться на не закрытых для общего доступа земельных участках, находящихся в государственной или муниципальной собственности, и использовать имеющиеся на этих участках природные объекты в пределах, допускаемых законом и иными правовыми актами, а также собственником соответствующего земельного участка.

2. Если земельный участок не огорожен либо его собственник иным способом ясно не обозначил, что вход на участок без его разрешения не допускается, любое лицо может пройти через участок при условии, что это не причиняет ущерба или беспокойства собственнику. - ПОЭТОМУ СТАВЬТЕ ЗАБОР.

А соседям передайте - пусть обращаются в суд.