Могу ли я сейчас рассчитывать на наследство со стороны отца в первую очередь, или вообще ни на что не имею права?

С правовой точки зрения только регистрация отцовства в органах загса порождает родительские правоотношения

Вы можете претендовать на наследство, если в судебном порядке установите факт отцовства.

Статья 49. Семейного кодекса РФ:

В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

Обращайтесь в суд с заявлением об установлении факта признания умершим отцовства. После установления указанного факта, Вы сможете претендовать на наследство

Если только так

Статья 50. Установление судом факта признания отцовства

В случае смерти лица, которое признавало себя отцом ребенка, но не состояло в браке с матерью ребенка, факт признания им отцовства может быть установлен в судебном порядке по правилам, установленным гражданским процессуальным законодательством