Выписка ребенка из квартиры отца - какие права потеряет ребенок?

Никаких не теряет вообще.

Он продолжает оставаться ребенком своего отца и сохраняет все права как наследник имущества своего отца.

Уважаемая Оксана.

СМ.

Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 08.12.2020) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Статья 2. Основные понятия

регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства - постановка гражданина Российской Федерации на регистрационный учет по месту жительства, то есть фиксация в установленном порядке органом регистрационного учета сведений о месте жительства гражданина Российской Федерации и о его нахождении в данном месте жительства;

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 25.05.2017) "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...

I. Общие положения

Регистрационный учёт устанавливается в целях обеспечения необходимых условий для реализации гражданами своих прав и свобод, а также исполнения ими обязанностей перед другими гражданами, государством и обществом.

Т.о., регистрация гражданина по месту жительства - есть фиксация в установленном порядке органом регистрационного учета сведений о месте жительства гражданина Российской Федерации и о его нахождении в данном месте жительства; регистрационный учет устанавливается в целях обеспечения необходимых условий для реализации гражданами своих прав и свобод, а также исполнения ими обязанностей перед другими гражданами, государством и обществом.

Т.е., снятие ребёнка с регистрационного учёта не влечёт утраты ребёнком каких-либо прав. Однако Вам необходимо будет решить вопрос о прикреплении ребёнка к медицинскому учреждению по месту жительства в соответствии с новой регистрацией.

Удачи Вам.