Может ли отец запросить новое свидетельство о рождении, если я не хочу отдавать старое?

Без Вашей доверенности нет!

Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния выдается:

лицу, в отношении которого была составлена запись акта гражданского состояния;

родственнику умершего или другому заинтересованному лицу в случае, если лицо, в отношении которого была составлена ранее запись акта гражданского состояния, умерло;

родителям (лицам, их заменяющим) или представителю органа опеки и попечительства в случае, если лицо, в отношении которого была составлена запись акта о рождении, не достигло ко дню выдачи повторного свидетельства совершеннолетия. По достижении ребенком совершеннолетия его родителям (одному из родителей) по их просьбе выдается иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации рождения ребенка);

опекунам лиц, признанных недееспособными;

иному лицу в случае представления нотариально удостоверенной доверенности от лица, имеющего в соответствии с настоящей статьей право на получение повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния.

Ст. 9, Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 18.06.2017) «Об актах гражданского состояния"

Пусть просит... А не проще зайти к нотариусу и там копию заверить папе? За его счет и шоколадку Вам...