Может ли начальство переводить сотрудников между подразделениями без их согласия и как это может повлиять на отпуск?

Владислав, определяющим является то, указано ли в Вашем трудовом договоре конкретное структурное подразделение (отдел), куда Вы были приняты.

Если в трудовом договоре уточнено условие о Вашем рабочем месте (в частности, прописан конкретный отдел), то перевести Вас без Вашего согласия в другой отдел работодатель не вправе, т.к. такой перевод, в соответствии с ч.1 ст.72.1 Трудового кодекса РФ, допускается только с письменного согласия работника:

Статья 72.1. Перевод на другую работу. Перемещение

(часть 1)

Перевод на другую работу — постоянное или временное изменение трудовой функции работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре), при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с письменного согласия работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса.

Однако если структурное подразделение (конкретный отдел) в Вашем трудовом договоре не указано, и работодатель не планирует менять Ваш функционал и иные условия труда, то его действия можно будет квалифицировать как перемещение, которое, согласно ч.3 ст.72.1 ТК РФ. не требует Вашего согласия:

Статья 72.1. Перевод на другую работу. Перемещение

(часть 3)

Не требует согласия работника перемещение его у того же работодателя на другое рабочее место, в другое структурное подразделение, расположенное в той же местности, поручение ему работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения определенных сторонами условий трудового договора.