Как оформить доверенность на бабушку, чтобы она могла сопровождать ребенка в больницу, если нет оригинала свидетельства о рождении?

Никаких доверенностей на детей законодательством не предусмотрено.

Федеральный закон от 21.11.2011 N 323-ФЗ (ред. от 26.03.2022) "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 10.04.2022)

Статья 51. Права семьи в сфере охраны здоровья

3. Одному из родителей, иному члену семьи или иному законному представителю предоставляется право на бесплатное совместное нахождение с ребенком в медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в стационарных условиях в течение всего периода лечения независимо от возраста ребенка. При совместном нахождении в медицинской организации в стационарных условиях с ребенком до достижения им возраста четырех лет, а с ребенком старше данного возраста - при наличии медицинских показаний плата за создание условий пребывания в стационарных условиях, в том числе за предоставление спального места и питания, с указанных лиц не взимается.

Да, нужен. Статьей 42 "Основ законодательства Российской Федерации о нотариате" предусмотрено, что нотариус устанавливает личность обратившихся за совершением нотариального действия гражданина, его представителя или представителя юридического лица.

Установление личности гражданина, его представителя или представителя юридического лица должно производиться на основании паспорта или других документов, исключающих любые сомнения относительно личности указанных гражданина, его представителя или представителя юридического лица,