Работающий врач на бюджетной должности - может ли работодатель требовать отдачи военного билета?

Требование работодателя неправомерно. Никакого права забирать оригинал военного билета у работодателя нет.

Так, п.6 ч. 1 ст. 10 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» установлено:

«В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

бережно хранить военный билет (временное удостоверение, выданное взамен военного билета), а также удостоверение гражданина, подлежащего призыву на военную службу. В случае утраты указанных документов в двухнедельный срок обратиться в военный комиссариат либо в соответствующий орган местного самоуправления поселения или соответствующий орган местного самоуправления городского округа, осуществляющий первичный воинский учет, для решения вопроса о получении документов взамен утраченных».

(в ред. Федеральных законов от 03.12.2008 N 248-ФЗ, от 09.03.2010 N 27-ФЗ)

Чушь какая, вы не обязаны хранить или отдавать военный билет работодателю. Это не трудовая книжка. Пусть обоснует. Тут только одно, может планируется создание медгрупп, которые будут направлены на Украину.

Требования не правомерны, так как в соответствии с "Методическими рекомендациями по ведению воинского учета в организациях", утвержденными Генштабом Вооруженных Сил РФ 11.07.2017

23. Воинский учет организациями осуществляется: призывников и военнообязанных запаса - по личным карточкам работников

25. Документами воинского учета, на основании которых ведется воинский учет и заполняются личные карточки, являются:

Военные билеты офицеров запаса

Т.е. основанием является личная карточка, а не военный билет.