Или вараинтов после подписания извещения уже нет, и в трудовой будет статья по сокращению?

Вас никто не может лишить права уволится по собственному желанию.

Только в этом случае,

вы лишаетесь гарантий, предусмотренных при увольнению по сокращению штата.

Конечно,можете.Ограничения права на увольнения по собственному желанию при проведении мероприятий по сокращению штатов не установлено трудовым законодательством.И то,что вы подписали извещение означает лишь одно-что вас уведомили о сокращении.

при увольнении по собсвенному желанию, вы не получите выходное пособие (2 месаца выплаты зарплаты по среднему заработку + за 3-ий месяц, если встанете в течение недели на учет в Службу занятости);

решать вам - нужны ли вам выплаты трех зарплат, пока вы ищите другую работу..

Правильно ли я понял, что в любой момент я могу написать заявление по собственному желанию, даже если в извещении было «в связи с сокращением штатной должности» и в этом случае работодатель обязан в трудовой сделать запись «по собственному желанию»?

Ну не совсем в "любое время". Скажем до окончания срока предупреждения о сокращении штата осталась одна неделя, и вы подаёте заявление по собственному желанию.

Через неделю работодатель может уволить вас по сокращению штата. Это его право.

Но ему выгодней уволить вас по собственному желанию - он экономит до трёх ваших месячных зарплат.