Смогут ли родственники распоряжаться моим вкладом в банке?

Да. Наличие родственных отношений не обязательно.

ГК РФ.

" Статья 841. Внесение третьими лицами денежных средств на счет вкладчика

Если договором банковского вклада не предусмотрено иное, на счет по вкладу зачисляются денежные средства, поступившие в банк на имя вкладчика от третьих лиц с указанием необходимых данных о его счете по вкладу. При этом предполагается, что вкладчик выразил согласие на получение денежных средств от таких лиц, предоставив им необходимые данные о счете по вкладу.

Статья 842. Вклады в пользу третьих лиц

1. Вклад может быть внесен в банк на имя определенного третьего лица. Если иное не предусмотрено договором банковского вклада, такое лицо приобретает права вкладчика с момента предъявления им к банку первого требования, основанного на этих правах, либо выражения им банку иным способом намерения воспользоваться такими правами.

Указание имени гражданина (статья 19) или наименования юридического лица (статья 54), в пользу которого вносится вклад, является существенным условием соответствующего договора банковского вклада.

Договор банковского вклада в пользу гражданина, умершего к моменту заключения договора, либо не существующего к этому моменту юридического лица ничтожен.

2. До выражения третьим лицом намерения воспользоваться правами вкладчика лицо, заключившее договор банковского вклада, может воспользоваться правами вкладчика в отношении внесенных им на счет по вкладу денежных средств.

3. Правила о договоре в пользу третьего лица (статья 430) применяются к договору банковского вклада в пользу третьего лица, если это не противоречит правилам настоящей статьи и существу банковского вклада".