Обязательно ли прописывать всех проживающих в старой квартире при получении новой по программе переселения?

Нет.

Но все, кто не пропишется утратят права по договору социального найма.

При оформлении документов на новую квартиру, обязательно ли прописывать всех людей, кто был прописан в старой?

Да, если они проживают в новой квартире.

Гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6.1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме.

Ст. 6, Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 01.07.2021) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Расселение аварийного жилья носит компенсационный характер. Все кто был зарегистрирован в аварийном жилье (наниматель и члены семьи нанимателя) имеют право зарегистрироваться в представленной квартире и быть включенным в ДСН (в том числе в судебном порядке, если наниматель возомнил себе лишнее).

НО любой совершеннолетний вправе изменить свое место жительства и регистрацию т.е. может сам отказаться от регистрации в представленной квартире.