Подруга пожила 10 дней, требует половину денег - должна ли я вернуть?

Нет, вы не должны ей возвращать деньги, поскольку нет договора и вы предоставляли ей проживание бесплатно.

Если нет письменного договора найма, то будем исходить, что письменная форма соблюдена, так как стороны договора найма приступили к его исполнению. Вы предоставили в наем жилое помещение, наниматель вселился. Все договор действует и Вы ничего не должны возвращать. Но есть одно "НО", так как нет письменной формы договора, но если есть письменное доказательство передачи денег, то его надо посмотреть. Если в расписке например указано, что за проживание, нет проблем, если это перевод он-лайн через Сбербанк, например, то подруга может обратиться с иском в суд и требовать взыскания неосновательного обогащения (ст. 1102 ГК РФ). Тогда очно к адвокату обращайтесь, В соответствии со ст. 56 ГПК РФ каждая сторона в суде должна доказать те обстоятельства на которых она основывает свои требования и возражения и Вам надо будет доказать, что был договор найма!

Ну раз не было договора значит и деньги у Вас чужие находятся без законных на то оснований. Договор можно считать незаключенным и вы должны вернуть деньги. Ну или все же считать, что договор был, но не соблюдена письменная форма договора, что не делает его недействительным, с вас требуют то не все деньги. А должны ли Вы возвращать деньги или нет, зависит от того, как бы Вы хотели что бы с Вами поступили, будь Вы на месте нанимателя.

Есть понятие устного договора. В случае отказа в возврате денежных средств, Ваша знакомая может воспользоваться претензионным порядком взыскания.