Могу ли я попросить суд компенсировать моральный ущерб вместе с компенсацией оплаты дорожноо штрафа?

Моральный вред в этом случае доказать практически невозможно. Какие страдания Вы претерпели то, сами дали свой автомобиль)

Вы можете потребовать возмещения штрафа через суд в качестве неосновательного обогащения (неосновательно сбережённые деньги также явлются неосоновательным обогащением). Однако дело малоинтересно (маленькая сумма иска) и малоперспективно (Вы могли представить в ГИБДД копию доверенности, но предпочли оплатить штраф сами, теперь доказать "неосновательность обогащения" будет проблематично). А возмещение морального вреда в данном случае просто не предусмотрено законом (возмещение морального вреда предусмотрено законом только для строго определённых случаев, к которым Ваша ситуация не относится).

Оплатив, как законопослушный гражданин штраф выписанный на моё имя, я взял на себя вину чужого человека, который в свою очередь отказался сначала оплатить, а затем компенсировать мне его. Т.е. мне это неприятно и приносит моральные и финансовые неудобства. Я же это правонарушение не совершал, а оплатив его, чувствую себя виноватым за кого то. Разве этого для суда недостаточно? Опять же, я не собираюсь требовать нереально большие деньги - суммы, соизмеримой с размером штрафа, например, мне более, чем достаточно, а человеку - урок на будущее.