Является ли поиск информации в интернете по ФИО обработкой персональных данных, и будет ли эта обработка законной?

Что за обработку вы имеете в виду? Если это данные из открытых источников, то это не незаконно добытые персональные данные.

Все процедуры, касающиеся обработки персональных данных (ПД), указаны в Федеральном законе Российской Федерации «О персональных данных» от 27 июля 2006 года. В законодательном акте N 152-ФЗ четко сказано, что к личной информации относятся любые ведомости, которые прямо или косвенно относятся к физическому лицу, иными словами, принадлежат субъекту (подробнее о том, какая информация относится к ПД, читайте тут, а в этой статье вы найдете примеры персональных данных). Статья 19 Гражданского кодекса Российской Федерации сообщает, что ФИО определяет гражданина. С приобретением имени, фамилии и отчества гражданин получает и осуществляет права и обязанности под своим именем. В законе говорится о том, что ФИО принадлежит человеку, поэтому, если вернуться к определению из ФЗ «О персональных данных», такая информация должна являться персональной со всеми юридическими последствиями и нюансами при ее распространении и обработке. В то же время Роскомнадзор, регулирующий информационную деятельность в сети интернет, отмечает, что размещение на веб-страницах всемирной паутины фамилии, имени и отчества без каких либо дополнительных пояснений, не считается обработкой ПД физического лица