Что делать, если ураган повредил квартиру и управляющая компания молчит?

Для подтверждения акт осмотра, но я так думаю УК не проведёт такой осмотр и не даст акт. Фотографии с впечатанной датой и временем. Соседи которые подтвердят факты.

Обращаться письменно в УК, если не отвечают в роспотребнадзор и прокуратуру

Жалоба в жилищную инспекцию, жалоба в местную администрацию, жалоба губернатору. Обращение в СМИ за поддержкой.

Порядок ваших действий для возмещения ущерба

1.Необходимо обратиться с заявкой о составлении Акта о заливе в УК. (п. 152 ПП РФ 354). Она составляет акт о затоплении (протечке), заверяет его и выдает вам. Если УК требования составить Акт игнорирует - составляете Акт сами с 2-мя свидетелями.

2. Далее вы обращаетесь к виновнику залива с досудебной претензией. Написать ее нужно так, чтобы виновник понимал, что вы юридически грамотны и готовы отстаивать свои права в суде. Грамотно написанная претензия иногда помогает избежать суда и договориться "на берегу". При этом оценку ущерба можно сделать по средним ценам на аналогичные товары в интернете. В случае отказа ее удовлетворить (игнорирования), далее

3.Вы обращаетесь к оценщику и он составляет отчет о стоимости восстановительного ремонта. Отчет необходим для расчета цены иска

4.Вы составляете исковое заявление, как указано в ст.131 ГПК РФ и направляете ответчику судебные документы в порядке п.6 ст.132 ГПК РФ.

5.Подаете документы в суд и он взыскивает ущерб в порядке ст. 1064 ГК РФ.

По факту много нюансов, поэтому все эти этапы разумно пройти вместе с профессиональным юристом