Существует ли срок на обжалование постановления об отказе в возбуждении уголовного дела и каков этот срок?

Смотря в связи с чем отказ. Если потому, что это дело частного обвинения, то Вам не нужно обжаловать этот отказ, а нужно подавать заявление в порядке частного обвинения непосредственно мировому судье.

Если основания для отказа иные, то никакого 10-дневного срока закон не устанавливает.

Статья 123 УПК РФ. Право обжалования

(в ред. Федерального закона от 30.04.2010 N 69-ФЗ)

1. Действия (бездействие) и решения органа дознания, дознавателя, начальника подразделения дознания, следователя, руководителя следственного органа, прокурора и суда могут быть обжалованы в установленном настоящим Кодексом порядке участниками уголовного судопроизводства, а также иными лицами в той части, в которой производимые процессуальные действия и принимаемые процессуальные решения затрагивают их интересы.

Статья 125 УПК РФ. Судебный порядок рассмотрения жалоб

1. Постановления дознавателя, следователя, руководителя следственного органа об отказе в возбуждении уголовного дела, о прекращении уголовного дела, а равно иные решения и действия (бездействие) дознавателя, следователя, руководителя следственного органа и прокурора, которые способны причинить ущерб конституционным правам и свободам участников уголовного судопроизводства либо затруднить доступ граждан к правосудию, могут быть обжалованы в районный суд по месту производства предварительного расследования.

(в ред. Федеральных законов от 05.06.2007 N 87-ФЗ, от 02.12.2008 N 226-ФЗ)

2. Жалоба может быть подана в суд заявителем, его защитником, законным представителем или представителем непосредственно либо через дознавателя, следователя, руководителя следственного органа или прокурора.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2007 N 214-ФЗ)

Положение части третьей статьи 125 в его конституционно-правовом истолковании не препятствует допуску представителя к участию в рассмотрении жалобы потерпевшего на действия (бездействие) и решения дознавателя, следователя и прокурора независимо от того, принимал ранее представитель участие в деле или нет (Определение Конституционного Суда РФ от 24.11.2005 N 431-О).

3. Судья проверяет законность и обоснованность действий (бездействия) и решений дознавателя, следователя, руководителя следственного органа, прокурора не позднее чем через 5 суток со дня поступления жалобы в судебном заседании с участием заявителя и его защитника, законного представителя или представителя, если они участвуют в уголовном деле, иных лиц, чьи интересы непосредственно затрагиваются обжалуемым действием (бездействием) или решением, а также с участием прокурора, следователя, руководителя следственного органа. Неявка лиц, своевременно извещенных о времени рассмотрения жалобы и не настаивающих на ее рассмотрении с их участием, не является препятствием для рассмотрения жалобы судом. Жалобы, подлежащие рассмотрению судом, рассматриваются в открытом судебном заседании, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 241 настоящего Кодекса.

(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 161-ФЗ, от 24.07.2007 N 214-ФЗ, от 02.12.2008 N 226-ФЗ)

4. В начале судебного заседания судья объявляет, какая жалоба подлежит рассмотрению, представляется явившимся в судебное заседание лицам, разъясняет их права и обязанности. Затем заявитель, если он участвует в судебном заседании, обосновывает жалобу, после чего заслушиваются другие явившиеся в судебное заседание лица. Заявителю предоставляется возможность выступить с репликой.

5. По результатам рассмотрения жалобы судья выносит одно из следующих постановлений:

1) о признании действия (бездействия) или решения соответствующего должностного лица незаконным или необоснованным и о его обязанности устранить допущенное нарушение;

2) об оставлении жалобы без удовлетворения.

6. Копии постановления судьи направляются заявителю, прокурору и руководителю следственного органа.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2007 N 214-ФЗ)

7. Принесение жалобы не приостанавливает производство обжалуемого действия и исполнение обжалуемого решения, если это не найдет нужным сделать орган дознания, дознаватель, следователь, руководитель следственного органа, прокурор или судья.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2007 N 214-ФЗ)

Нужно только определиться, есть ли основания для обжалования, и грамотно изложить их в жалобе.