Кто останется проживать в квартире после смерти нанимателя?

Квартира принадлежит государству, кто в ней зарегистрирован, тот и сможет заключить соцнайм, но это не вы точно.

На его трусы и дырявые носки сможет претендовать - нет же у супруга её иного имущества.

Не зарегистрирована - без Вашего согласия и не будет - пиком её под зад на улицу после... или сейчас можете иск подать - ст. 35 ЖК РФ.

Имеете е право запросить - в суде получите всяко.

Вопрос, на что она имеет право и на что может претендовать в случае смерти отца?

На долю в наследстве. На долю в его имуществе. Квартира по соцнайму не является наследством.

И доп вопрос, я являясь сыном основного нанимателя, имею ли право запросить копию договора социального найма через гос услуги? Так как мне его предоставлять не хотят

Если вы включены в договор, то да, имеете право. Если не включены, то такого права нет.

Ну так регистрация в квартире супруги отца возможна только с вашего письменного согласия. А где сейчас эта барышня прописана по месту жительства? Этот момент очень важен на будущее. По факту если эта дама получит консультацию от юристов и будет реально жить в квартире, нести расходы по её содержанию, но не будет в ней зарегистрирована по причине не дачи вами согласия, то после смерти отца она может попробовать в судебном порядке признать за ней право пользования квартирой на условиях договора социального найма и вы будете соответчиком по иску наравне с администрацией муниципального образования. И шансы на удовлетворение иска у неё будут, особенно, если она будет типа бомжом, то есть не иметь на праве пользования (по соцнайму) и праве собственности другого жилого помещения. Иного способа у неё нет. Как-то, так. Надеюсь, что мой ответ был вам полезен.