Стоит ли платить банку за истекший долг или можно игнорировать их предложение?

Тогда не надо.Ваша задача отследить себя по сайтам Гос. услуг, ФССП и судов,подключить Госпочту в личном кабинете Госуслуг и вовремя получать судебные извещения и обжаловать или подать возражение,а так же проверять сведения в кредитной истории .Вы можете заявить о пропуске срока в порядке ст.196 ГК РФ,но только в суде, так как сам срок применяется только судом, в суде и по заявлению стороны. По своей инициативе суд не может его применить. Так же нужно указать в на злоупотребление правом со стороны взыскателя и на снижение штрафных санкций (это на случай если суд иск удовлетворить захочет)

Всё зависит от того на какой срок был заулючен договор.

Тогда вообще даже не общайтесь, а следите за поступлением судебного приказа по адресу указанному в банке и на Госуслугах поставьте разрешение на получение документов от госучреждений и на сайте Почта России извещение при поступлении в ваш адрес корреспонденции почтовой, чтобы своевременно получить судебный приказ и отменить его.

В таком случае рекомендую Вам ничего не оплачивать и дождаться иска в суд.

Затем необходимо будет составить возражение на иск и подать его в суд.

А долг вообще просужен или нет? Если просужен, то тут совсем другой алгоритм действий ваш.

Правильно. Ничего не платите. Срок давности истек.

Ничего не платите и не реагируйте на их обращения. Подадут иск в суд - обращайтесь к юристам сайта за помощью в подготовке грамотных возражений на иск и консультации, как их подать и т.д.