Какой иск подавать в суд – об установлении родства, о признании права на наследство, либо другой?

Прошу вашей помощи в следующей ситуации:

В октябре 2004 года умерла тетя моей матери и оставила приватизированную квартиру. Тетя никогда не была замужем, детей у нее не было. Из ее братьев и сестер, кроме моей бабушки мне известны брат (детей не было), погибший во время войны и сестра, умершая тоже много лет назад (было 2 детей, ныне умершие, жив 1 внук).

У моей матери был родной брат (детей не было, умер в 2004 году) и молочные брат (много лет назад уехал, отношений не поддерживал, сведений никаких нет) и сестра (жива, на словах от наследства отказывается).

Заявление о принятии наследства подала только моя мать.

При попытке доказать родство выяснилось, что:

Фамилия тети и ее родителей - моих прадеда и прабабки - в свидетельстве о рождении - Кузмина, в то время как она уже много лет писалась Кузьмина (есть правда красноармейская книжка, где она названа Кузмина, а подписалась как Кузьмина).

После обращения в архивы удалось найти запись в церковной книге о рождении бабушки (у крестьянина Кузьмина). А затем и запись о браке бабушки и дедушки, которая поставила больше вопросов, чем дала ответов: Судя по ней моя бабушка Кузьмина выходила замуж за дедушку Добрякова будучи Смирновой, так мало того - она еще и осталась Смирновой после регистрации брака. Кроме фамилий и даты регистрации в присланном документе ничего не было. Моя мама не имеет понятия, как это объяснить и говорит, что бабушка для нее всю жизнь была Добряковой, но при этом вспоминает, что погибшему дяде письма писали как Смирнову.

Прощу ответить на такие вопросы:

1.Следует ли нам пытаться искать документы об изменении фамилии бабушки или отсутствие мягкого знака в свидетельстве о рождении тети все равно приведет нас в суд?

2.Моя мама оплачивает квартплату, телефон и коммунальные услуги, делает там ремонт. Можно ли это считать тем, что она приняла наследство фактическими действиями (п. 2 ст. 1153 ГК) и настаивать на выдаче нотариусом свид. О праве на наследство?

3.Какой иск подавать в суд – об установлении родства, о признании права на наследство, либо другой?

4.Если сестра мамы «передумает», сможет ли она претендовать на наследство, хотя, зная о смерти тети, в течение 6 месяцев не подала заявление о принятии наследства?