Для чего сотрудник ГАЙ сфотографировал мое разрешение на оружие, и имеет ли он на это право

Закон не запрещает. Вы дали разрешение - он сфотографировал.

Это ему делать не запрещено.

А для чего он это делал надо было спрашивать у него.

Сотрудник ГАИ является полноценным сотрудником полиции и имеет полномочия по проверке и принятию мер по пресечению любых правонарушений, тем более связанных с перевозкой / ношением оружия

Это нужно было спросить у сотрудника полиции. Но, думаю. хочет проверить его на подлинность. Вполне имеет право.

Нет, не имеет такого права, как и проверять наличие разрешения, это не его компетенция.

Добрый день!

Сотрудник ГАИ = сотрудник полиции. Следовательно

Ст. 13 закона "О полиции"

п. 2 - проверять документы, удостоверяющие личность граждан, если имеются данные, дающие основания подозревать их в совершении преступления или полагать, что они находятся в розыске, либо если имеется повод к возбуждению в отношении этих граждан дела об административном правонарушении, а равно если имеются основания для их задержания в случаях, предусмотренных федеральным законом; проверять у граждан, должностных лиц, общественных объединений и организаций разрешения (лицензии) и иные документы на совершение определенных действий или на осуществление определенного вида деятельности, контроль (надзор) за которыми возложен на полицию в соответствии с законодательством Российской Федерации;

п. 16 - осуществлять в порядке, установленном законодательством об административных правонарушениях, личный досмотр граждан, досмотр находящихся при них вещей, а также досмотр их транспортных средств при наличии данных о том, что эти граждане имеют при себе оружие, боеприпасы, патроны к оружию, взрывчатые вещества, взрывные устройства, наркотические средства, психотропные вещества или их прекурсоры либо ядовитые или радиоактивные вещества, изымать указанные предметы, средства и вещества при отсутствии законных оснований для их ношения или хранения; принимать участие в досмотре пассажиров, их ручной клади и багажа на железнодорожном, водном или воздушном транспорте, метрополитене либо осуществлять такой досмотр самостоятельно в целях изъятия вещей и предметов, запрещенных для перевозки транспортными средствами