Можно ли оформить доверенность для прописки в другом городе без личного присутствия?

Да. Сходите к нотариусу, оформите доверенность и вышлите ее своему доверенному лицу. См. ФЗ № 156 от 22.06.2024 г. "О внесении изменений в статью 3 Закона Российской Федерации "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации".

Зарема, можно, т.к. закреплена возможность подачи документов на регистрацию по месту пребывания и месту жительства по доверенности. Федеральный закон от 22.06.2024 N 156-ФЗ "О внесении изменений в статью 3 Закона Российской Федерации "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

Нет, поскольку каждый должен быть зарегистрирован (прописан) там где проживает. Иное порождает неразбериху (раз), запрещено законом (два), влечет наказание (три).

Возможно обратитесь к нотариусу.

Статья 3. Регистрационный учет граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации

Такие заявления и документы могут быть поданы представителем гражданина, имеющим нотариально удостоверенную доверенность или доверенность, приравненную к нотариально удостоверенной в соответствии с гражданским законодательством, которыми подтверждаются полномочия лица на подписание и подачу таких заявлений, подачу и получение документов, необходимых для регистрации граждан Российской Федерации по месту жительства или месту пребывания в пределах Российской Федерации.