Как побороть эту систему?

найти дополнительный заработок и всё.

Направить жалобу в прокуратуру, необходима проверка. По регистрации отказ неправомерный.

Сам по себе факт регистрации или отсутствие таковой не может служить основанием ограничения или условием реализации гражданином его конституционного права на социальное обеспечение, на реализацию жилищных прав. Указанная правовая позиция неоднократно отражалась в определениях и постановлениях Конституционного суда РФ (Постановление Конституционного Суда РФ от 30.06.2011 N 13-П "По делу о проверке конституционности абзаца второго статьи 1 Федерального закона "О садоводческих, огороднических и дачных некоммерческих объединениях граждан", Постановление Конституционного Суда РФ от 30.06.2021 N 31-П "По делу о проверке конституционности абзаца второго подпункта 1 пункта 1 статьи 7 Федерального закона "О противодействии легализации (отмыванию) доходов, полученных преступным путем, и финансированию терроризма" в связи с жалобой гражданина Н.Г. Гришина").

Указанные дела не ваш случай, но сам принцип закрепленный в приведенных Определениях касается и вашего дела.

Здесь два варианта, первый, как правильно написал коллега обратиться с жалобой в прокуратуру и сослаться на вышеуказанный принцип Конституционного суда и просить провести проверку по факту отказа и наложить на отказ прокурорский протест.

Там же указать, что в соответствии с ч. 1 ст. 6 Федерального закона Российской Федерации 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 02.06.2016) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации" определено, что гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6.1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме.

Обратить внимание на то, что факт регистрации или отсутствия таковой не порождает для гражданина каких-либо прав и обязанностей и, согласно части второй статьи 3 Закона Российской Федерации "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации", не может сам по себе служить основанием ограничения или условием реализации прав и свобод граждан, предусмотренных Конституцией Российской Федерации, федеральными законами и законодательными актами субъектов Российской Федерации; регистрация граждан в том смысле, в каком это не противоречит Конституции Российской Федерации, является лишь предусмотренным федеральным законом способом их учета в пределах территории Российской Федерации, носящим уведомительный характер и отражающим факт нахождения гражданина по месту пребывания или жительства; при этом конкретное место жительства лица может быть установлено и судом общей юрисдикции на основе различных юридических фактов, не обязательно связанных с его регистрацией компетентными органами.

Соответственно, невыполнение гражданином Российской Федерации обязанности зарегистрироваться по месту жительства или месту пребывания в пределах территории Российской Федерации в органах регистрационного учета не может служить основанием ограничения или условием реализации его конституционного права на социальное обеспечение.

Если прокурор не поможет, тогда суд по аналогии с Определением Шестого КСОЮ по делу №8Г-20445/2021.

Жилищный кодекс РФ (ст. 159) и Правила предоставления субсидий связывают право на субсидию на оплату жилого помещения и коммунальных услуг не с фактом регистрации заявителя по месту жительства, а с его постоянным проживанием (местом жительства) в том жилом помещении, в отношении которого он несет расходы по оплате жилого помещения и коммунальных услуг.

А согласно ст. 20 ГК РФ местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает.

Ничего не поделаешь система у нас такая всего надо добиваться преодолевая препятствия чинуш, им проще отказать, они же как действуют - суд установит выполним и ответсвенности за отказ никакой, а вот если они не откажут и формально можно их будет в этом упрекнуть, тогда прокуратура применяет к ним меры воздействия.