Может ли директор школы не принять заявление на его имя по какому либо вопросу? (Дети учатся там более 4 лет.)

В соответствии с ст. 16 Федерального закона № 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации», организации обязаны обеспечивать возможность гражданам подавать обращения, а также рассматривать их в установленный законодательством порядке. Это касается не только государственных органов, но и образовательных учреждений, включая школы.

Здравствуйте! В таком случае Вы можете обратиться в администрацию в отдел образования

В соответствии с законом об обращениях граждан должен принять.

В соответствии со ст.12 закона Федеральный закон от 02.05.2006 N 59-ФЗ "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации" письменное обращение, поступившее в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу в соответствии с их компетенцией, рассматривается в течение 30 дней со дня регистрации обращения и дать ответ .

Можете направить почтой с описью вложения,обратным уведомлением.

Или обратиться в вышестоящую организацию (отдел, управление образования администрации) по причинному вопросу или на то что директор школы не реагирует , не отвечает на обращение по закону.

Федеральный закон «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» смотрите пункты 7-12. Всё ли вы оформили верно. Т.к. там есть пару "Но"