Если во встречном исковом назначалась определенная организации для проведения экспертизы и составленны вопросы на неё.

Ст.138 ГПК РФ устанавливает условия принятия встречного иска. Если иск суд отклонил вы можете подать новый иск в том случае если предмет и основания его будут отличаться от иска рассматриваемого сейчас в суде. По поводу организации проводящей экспертизу , суд сам в праве назначить организацию для проведения судебной экспертизы.

пришлите постановление суда об отказе и тогда можно будет более корректно вам ответить

подать можете, только это не только исковое заявление, а ходатайств о назначении судебной экспертизы. Помимо самого заявления ходатайства также необходимо ее оплатить путем внесения средств не депозит суда

Если суд не принял исковое заявление как встречное его можно подать как самостоятельное. При необходимости проведения экспертизы стороны вправе формулировать вопросы эксперту и предлагать эксперную организацию. Окончательное решение за судом.

Вопрос в том - как понять суд "отклонил" встречный иск.

Если отказал в удовлетворении, рассмотрев по существу, то не можете, это выходит тождественный иск.

Если не принял к рассмотрению вообще, то можете его же подать как отдельный.

Насчет организации и вопросов - суд не связан ни предлагаемой Вами экспертной организацией ни вопросами при назначении экспертизы.

Кроме того, если рассмотрено связанное дело, возникает преюдиция, которую суд должен учитывать при рассмотрении дела, возможно вообще никакую экспертизу никто не назначит, а просто сошлются на другое решение, которым установлены те или иные факты.