Может ли сотрудник ТСЖ предоставить видеозаписи с камер видеонаблюдения на которых запечатлены члены моей семьи

Не может. Нужно согласие членов вашей семьи.

Смотря что на записи сотрудник ТСЖ хотел предоставить и кому хотел

предоставить.

Нюансов много.

Если подробнее опишете ситуацию - то можно сделать вывод.

информации недостаточно для полного ответа

Добрый день. Да, имеет.

Если вы находились с местах общего пользования, что скорее всего так и есть. Камеры - это также имущество общего пользования и каждый собственник имеет право требовать доступ в том числе и для восстановления своих прав. Арендаторы также имеют право, так как владеют данной квартирой в конкретный промежуток времени

Читайте ст. 152.1 ГК РФ

Обнародование и дальнейшее использование изображения гражданина (в том числе его фотографии, а также видеозаписи или произведения изобразительного искусства, в которых он изображен) допускаются только с согласия этого гражданина. После смерти гражданина его изображение может использоваться только с согласия детей и пережившего супруга, а при их отсутствии - с согласия родителей. Такое согласие не требуется в случаях, когда:

1) использование изображения осуществляется в государственных, общественных или иных публичных интересах;

2) изображение гражданина получено при съемке, которая проводится в местах, открытых для свободного посещения, или на публичных мероприятиях (собраниях, съездах, конференциях, концертах, представлениях, спортивных соревнованиях и подобных мероприятиях), за исключением случаев, когда такое изображение является основным объектом использования;

3) гражданин позировал за плату.