Можно ли доказать, что они умышленно оказали на меня давление и заставили уволиться, а также дискредитировали на новой работе

Здравствуйте нужны свидетели, переписка, что б это доказать.

заявление о предоставлении отпуска за свой счёт

А никто вам его и не обязан однозначно предоставлять даже за ваш счёт. Доказывайте, но не факт что у вас получится это сделать.

К слову, отпуск без сохранения заработной платы работодатель предоставлять не обязан, если вы не относитесь к льготной категории граждан.

Статья 128 ТК РФ:

По семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Работодатель обязан на основании письменного заявления работника предоставить отпуск без сохранения заработной платы:

участникам Великой Отечественной войны - до 35 календарных дней в году;

работающим пенсионерам по старости (по возрасту) - до 14 календарных дней в году;

родителям, супругам и детям, в том числе совершеннолетним, военнослужащих, граждан, заключивших контракт о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения, сотрудников, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации, погибших или умерших вследствие ранения, контузии или увечья, полученных при исполнении обязанностей военной службы (службы), обязанностей по контракту о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, либо вследствие заболевания, связанного с прохождением военной службы (службы), исполнением обязанностей по контракту о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, - до 14 календарных дней в году;

работающим инвалидам - до 60 календарных дней в году;

работникам в случаях рождения ребенка, регистрации брака, смерти близких родственников - до пяти календарных дней;

родителям, супругам и детям, в том числе совершеннолетним, военнослужащих, граждан, заключивших контракт о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, сотрудников органов внутренних дел, федеральной противопожарной службы, таможенных органов, сотрудников учреждений и органов уголовно-исполнительной системы, органов принудительного исполнения, сотрудников, проходящих службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации, получивших ранение, контузию или увечье при исполнении обязанностей военной службы (службы), обязанностей по контракту о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, либо заболевание, связанное с прохождением военной службы (службы), исполнением обязанностей по контракту о добровольном содействии в выполнении задач, возложенных на Вооруженные Силы Российской Федерации или войска национальной гвардии Российской Федерации, в целях осуществления ухода за ними в соответствии с медицинским заключением, выданным в порядке, установленном федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, - до 35 календарных дней в году;

Вы прогуляли, вас вправе уволить по статье.

можно доказать