Каким образом, кому и на основании каких документов можно подать встречный иск на бомжиху?

Уважаемая Наталья! К сожалению, в данном случае гражданское право не на стороне Вашего родственника. Владелец источника повышенной опасности ( к которому относится автомобиль) отвечает за причиненный вред независимо от своей вины ( ст.1079, 1100 Гражданского кодекса РФ), в том числе, и в отношении компенсации морального вреда. Освободиться от гражданско-правовой ответственности в форме возмещения вреда Ваш родственник может только, если докажет, что действовала непреодолимая сила ( ст.401 ГК РФ) ( молния, ураган, землетрясение и т.п., чего в указанном случае нет) или потерпевший умышленно желал наступления себе вреда ( как Вы понимаете, это тоже недоказуемо, именно Вашему родственнику нужно доказывать умысел потерпевшего. Если пострадавшая не признается, что желала наступления вреда... )

Грубая неосторожность потерпевшего дает право просить об уменьшении размера возмещения ( пункт 2 ст.1083 Гражданского кодекса РФ), Потерпевшая также вправе просить суд о присуждении дополнительных расходов ( на лечение, дополнительное питание, приоьретение лекарств, посторонний уход, санаторно-курортное лечение, приобретение специальных транспортных средств, если потерпевшая нуждается в указанных видах помощи ( по заключению врачей) и не имеет права на их бесплатное получение ( а судя по всему, так оно и есть) ( пункт 1 ст.1085 Гражданского кодекса РФ). При указанных расходах вина потерпевшего во внимание не принимается.

Ни о каком встречном иске к "бомжихе" и речи быть не может.