Как прописать ребенка, если родители проживают по разным адресам, а третий адрес получен после смерти матери отца?

Чтобы это сделать в том жилье кто-то должен быть зарегистрирован

На основании пункта 76 Административного Регламента предоставления ФМС РФ государственной услуги по регистрационному учёту граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ, утвержденного Приказом ФМС России №208 от 20.09.2007 г. (в редакции Приказа ФМС России от 23.12.2009 г. №364) допускается регистрация детей, не достигших 14 летнего возраста, по месту пребывания (временно) не только с родителями, но и с другими близкими родственниками (дедушкой, бабушкой, сестрой, братом и т. д. в соответствии со ст.14 Семейного Кодекса РФ), но только с письменного согласия законных представителей ребёнка, удостоверенного надлежащим образом.

Несовершеннолетние дети, достигшие 14-летнего возраста, могут быть зарегистрированы по месту пребывания и по месту жительства отдельно от родителей, если предоставлено письменное согласие законных представителей (одного их них) и согласие собственника жилого помещения (в соответствии с п. 81 Административного Регламента предоставления ФМС РФ государственной услуги по регистрационному учёту граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ, утвержденного Приказом ФМС России №208 от 20.09.2007 г.).