Можно ли изменить фамилию ребенка, в случае отсутствия зарегистрированного брака и совместного проживания?

Да, можете сменить фамилию ребенка на свою.

Только по согласованию с отцом ребенка. Либо с согласия опеки, в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.

Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка

1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.

2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.

3. Если ребенок рожден от лиц, не состоящих в браке между собой, и отцовство в законном порядке не установлено, орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить его фамилию на фамилию матери, которую она носит в момент обращения с такой просьбой.

4. Изменение имени и(или) фамилии ребенка, достигшего возраста десяти лет, может быть произведено только с его согласия.

ГАРАНТ:

О перемене имени лицами, достигшими четырнадцати лет, см. Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ

См. комментарии к статье 59 СК РФ